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Peu connue, cette carte présente pour autant de très nombreux avantages par rapports aux cartes traditionnelles de Shewhart.

Introduction

La carte EWMA (Exponentially Weighted Moving Average – Moyenne Mobile et Pondération Exponentielle) est une carte aux mesures. Elle a été développée par S. W. Roberts en 1959¹.

Elle permet de détecter une évolution des dérives de manière plus efficaces que les cartes traditionnelles de Shewhart.

Elle va représenter uniquement des moyennes de points. Tout l’intérêt de cette carte est d’être capable de détecter de petite variabilité tout en étant plus simple que la carte Cusum. Ceci est dû au fait qu’elle prend en compte la valeur précédente des points.

En effet, lorsque nous avons de dérives lentes ou faibles, le plus simple est d'utiliser une carte de Shewhart traditionnelle mais en augmentant la taille de chacun des échantillons. L'inconvénient est donc bien évidement le coût de cette solution. La carte EWMA permet de palier à ce problème.

Cette carte est très intéressante car elle a l’avantage de :

Prendre en compte plus de donnés que les cartes traditionnelles I - mR, X_barre-R et X_barre-S.
Etre plus sensible que la carte Cusum pour détecter des dérives brutales, mais néanmoins moins efficaces que les cartes de Shewhart dans ce cas spécifique.
Plus adaptée que la carte Cusum pour des valeurs individuelles.
Elle ne met en jeu qu’un critère de décision, celui où les données dépassent la limite haute ou basse.
Elle lisse les aléas dus à la variabilité naturelle du processus et évite ainsi de s’interroger inutilement.

L’utilisation de cette carte est plus fréquente pour les processus continus à faible dérive (remplissage de flacon par exemple). En effet, étant plus efficace pour déceler les dérives faibles ou lentes, elle y est particulièrement adaptée. Pour les processus discontinus plus soumis aux dérives brutales, il n’y a pas nécessité d’avoir une sensibilité trop importante. On préfèrera utiliser donc des cartes de Shewhart.

Carte EWMA aux mesures et aux attributs

La carte EWMA s'adapte aussi bien pour des mesures quantitatives que pour des proportions de non conformes. L'ensemble des formules ci-dessous présentées sont écrites pour les mesures (on parle alors de moyenne...). Pour une carte aux attributs, il suffira simplement de remplacer le terme de moyenne par la proportion, les formules restant les mêmes.

1. Calculer la moyenne pondérée des échantillons

Pour chacun des échantillons, qui peut compter 1 ou plusieurs échantillons et être variable, on va calculer une moyenne pondérée de « l’historique ». La formule est la suivante :

M_i = λ * x_ibarre + (1 – λ) * M_i-1

Avec :

M_i : valeur moyenne du i échantillon
M_i-1 : valeur précédente du point M_i
λ : constante d’ajustement comprise entre 0 et 1. Elle représente le « poids » apporté aux résultats antérieurs. Généralement, on va prendre entre 0,2 et 0,5.

A noter que :

Plus λ est proche de 0 : plus on tient compte du passé. Cela implique que l’on identifiera plus facilement les faibles dérives. Par contre, les dérives brutales et les déréglages importants, étant lissés, seront moins bien détectés.
Plus λ est proche de 1 : moins on tient compte du passé. Cela implique que l’on aura une meilleure réactivité pour identifier les déréglages brusques mais à contrario, on détectera moins bien les faibles variations.
Si λ = 1 : la carte obtenue est une carte X_barre

2. Déduire les limites

Les limites sont mobiles, car dépendantes du numéro d’échantillon. Toutefois, elles convergent très vite vers une droite.

UCL = M₀ + 3 * √ (variance)

LCL = M₀ - 3 * √ (variance)

Avec :

Variance :
i : le numéro de l’échantillon
σ : Ecart type des données
n : la taille de l’échantillon
λ : le coefficient de pondération.
M₀ : la valeur sur laquelle on veut centrer la carte

3. Interprétation

Les règles d’interprétation des cartes EWMA ne sont pas les mêmes que celles des cartes de contrôle de SHEWHART. Seul le franchissement des limites déclenche un signal de dérive du processus.

En cas de réglage, la valeur Mi apparaît comme une estimation de la valeur moyenne du processus. Il convient donc de régler le processus de l’écart entre la valeur Mi et la cible. A noter que si un recentrage du processus est effectué, il faut reprendre la carte à 0 pour ne plus prendre en compte l'historique des données qui a été traité par ce recentrage.

Enfin, si la carte EWMA est très performante pour détecter des dérives lentes, elle l’est en revanche moins que la carte de SHEWHART pour détecter des dérives rapides. L’idéal consiste donc à utiliser l’ensemble des trois cartes : EWMA, moyenne X_barre (ou valeurs individuelles I) et étendue R.