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La carte Xbarre-R est le cas de la carte I-mR lorsque nous avons des sous-groupes de taille n .

Pour les coefficients de la carte ,on utilise le table de Burr 1960

Introduction

On la nomme aussi « graphique moyenne et étendue ». Elle va nous permettre de représenter notre paramètre vis à vis de sa moyenne et de son étendu. On va l’utiliser pour des données mesurables, dans le cas de production en moyenne et grande série.

Elle a pour avantage d’être plus sensible que la carte I-mR.

1. Calculer l’étendue R

Pour la carte aux étendues, on va commencer par calculer la moyenne des étendues R_barre. Elle se calcule simplement en calculant la moyenne des étendues de chaque échantillon.

On rappelle simplement que l’étendu est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus basse.

Exemple :

Nous avons les résultats de 5 prélèvements de 3 pièces. Nous obtenons le tableau suivant :

	Prélèvement 1	Prélèvement 2	Prélèvement 3	Prélèvement 4	Prélèvement 5
Echantillon 1	11	10,5	9,1	10,1	11,1
Echantillon 2	12	10,9	9,5	10,8	11,3
Echantillon 3	9	11,7	10,2	9,8	10,3
Etendu	3	1,2	1,1	1	1

Nous obtenons l’étendue, en effectuant la moyenne des étendus de chaque groupe, soit dans notre exemple 1,46.

2. Calcul des limites et construction de la carte R

Pour obtenir les limites haute et basse à 3σ, nous allons les estimer à partir d’un tableau de coefficients (voir en bas de l’article). Les formules sont les suivantes :

UCL : limite supérieure = R_barre * D₄
LCL : limite inférieure = R_barre * D₃

En reprenant les données du tableau précédent, nous obtenons

UCL = 3,7595 (D4 étant à 2,575)
LCL = 0 (D3 étant égal à 0 pour des sous-groupes de 3 unités).

3. Calculer la moyenne X_barreet construire la carte des moyennes

3.1 Calcul de X_barre

Le calcul de X_barre repose sur la règle statistique suivante :

Soit nous avons moins de 15 groupes de données (carte phase I) : calculer avec les valeurs réelles seraient statistiquement peu fiable, on préfèrera alors prendre la valeur cible visée par notre processus.
Soit nous avons plus de 15 groupes de données (carte phase II) : on va alors calculer la moyenne X_barre en fonction de notre objectif.

Dans ce second cas, le choix va se faire en fonction de notre objectif :

Soit elle se calcule via la moyenne observée des échantillons, le cas le plus fréquent : on choisira cette option dans le cas où nous savons notre processus « décentré ».
Soit elle se calcule en fonction de la cible recherchée : on choisira cette option si nous savons mesurer avec précision les résultats et si nous voulons clairement viser le centre de l’intervalle.

3.2 Calcul des limites

Pour obtenir les limites haute et basse à 3σ, nous utilisons les formules suivantes :

UCL : limite supérieure = X_barre + A₂* R_barre

LCL : limite inférieure = X_barre - A₂* R_barre

Exemple :

On reprend, l’exemple précédent :

	Prélèvement 1	Prélèvement 2	Prélèvement 3	Prélèvement 4	Prélèvement 5
Echantillon 1	11	10,5	9,1	10,1	11,1
Echantillon 2	12	10,9	9,5	10,8	11,3
Echantillon 3	9	11,7	10,2	9,8	10,3
Moyenne	10,667	11,033	9,6	10,233	10,9

On calcule la moyenne de chaque échantillon

Nous obtenons :

X_barre = 10,5
UCL = 11,99 (A2 étant égal à 1,023 pour des sous-groupes de 3 unités)
LCL = 9,01

Interprétation

Pour une évaluation fiable, la pratique montre qu’il faut au moins 20 groupes de mesures, l’enjeu étant d’avoir au moins 100 données individuelles (soit 20 groupes de 5), pour pouvoir avoir un jugement fiable sur la réalité de notre processus.

Carte des moyennes

Le graphique X_barretraduit le fait que le processus est centré. S’il est normal, le centre du processus ne dérive pas. Si l’un des critères est validé, le processus dérive ou change de manière irrégulière et rapidement. Il devient alors nécessaire de le recentrer en regardant en priorité :

le réglage des machines
les caractéristiques des matériaux utilisés
les techniques pratiquées par les opérateurs.

Carte des étendues

Elletraduit l’uniformité et la cohérence. Si le graphique est étroit, c’est que le produit est uniforme. Si au contraire un critère est validé, il est alors dit hors contrôle, le processus contient quelque chose qui ne fonctionne pas régulièrement.

On attire l’attention sur le fait que pour ce qui est de la lecture des critères, ceux-ci diffèrent en fonction de si nous nous trouvons à la limite haute ou basse.

Si nous sommes à la limite basse, notre dispersion est faible, nous nous améliorons et il n’y a pas lieu d’agir. Par contre on peut investiguer pour comprendre pourquoi on s’améliore.

Inversement, si les critères sont validés « par le haut », notre dispersion augmente et il faut agir. Généralement, cela peut être amélioré par une meilleure maintenance et une bonne formation des opérateurs.

Les coefficients à appliquer

Les formules de calcul des limites à 3σ dépendent de coefficients. Ceci est dû au fait que dans la réalité, calculer l’écart-type est statistiquement complexe si on a peu de valeur.

Pour pallier à ce problème, les créateurs de la méthode ont tabulé des coefficients permettant de simplifier les calculs et d’estimer l’écart-type à partir de l’étendu. On calcule l’étendu réduite à partir de la formule :

W = R / σ

Avec :

R : étendu des valeurs
σ étant l’écart type

On va en déduire 2 coefficients, calculés à partir de la loi normale, que sont :

d₂ qui représente la moyenne de W
d₃ qui représente l’écart-type de W

Les limites deviennent donc pour les étendues :

R_barre ± 3 * (d₃/d₂) * R_barre

que l’on écrit sous la forme

R_barre + D3 * R_barre et R_barre + D4 * R_barre

Avec :

D3 = 1 – 3 * (d₃/d₂)
D4 = 1 + 3 * (d₃/d₂)

Et de la même manière, les limites pour les moyennes sont :

Xbarre ± 3 * (d₃/d₂) * R_barre

que l’on écrit sous la forme

Xbarre ± A2 * R_barre

Avec : A2 = 3 / (√ (n) * d₂)

Les différentes valeurs ci-dessus dépendent de la taille des différents échantillons. On rappelle simplement, que si nous prélevons plus d’un échantillon à chaque fois :

La moyenne X_barre globale est calculée par rapport à la moyenne de chaque prélèvement
La moyenne R_barre globale est également calculée par rapport à l’étendu de chaque sous-groupe.

Extrait de la table :